爱因斯坦与哥德尔

来源 SME

 

 

斯坦福大学物理学教授张首晟曾向斯蒂芬 · 霍金抛出过这样一个问题:“如果让你告诉外星人我们人类取得的最高成就,写在一张明信片的背面,您会写什么?”霍金回答说:“告诉外星人关于美,或者任何可能代表最高艺术成就的艺术形式都是无益的,因为这是人类特有的。我会告诉他们哥德尔不完备定理和费马大定理。这才是外星人能够理解的事情。”

 

接受采访的霍金

 

霍金提到的两样人类最高成就中,后者即费马大定理也许比较为人所知。至于稍欠知名度的哥德尔不完备定理,其在科学界的地位远比它的名声要高。哥德尔不完备定理的提出不仅打破了数学界无冕之王大卫 · 希尔伯特(David Hilbert)完善数学大厦的美梦。甚至一举粉碎了自古希腊以来千万数学家传承了 2000 多年的信念。在数学领域之外,哥德尔不完备定理还深远地影响到了哲学、语言学、计算机科学,甚至是宇宙学。而定理的提出者哥德尔,被认为是当代最有影响力的智慧巨人之一。美国《时代》杂志曾评选出百位 20 世纪最伟大人物,在数学家中,哥德尔独领风骚。

 

库尔特 · 哥德尔(Kurt Gödel,1906 ~ 1978)

 

哥德尔的私人生活也极富个性,他与夜总会舞女相爱并与其结为夫妻;与爱因斯坦相见恨晚,成为忘年之交。晚年的爱因斯坦说过:“我自己的工作没啥意思,我来上班就是为了能同哥德尔一起散步回家。”

 

可这位自亚里士多德以来最伟大的逻辑学和数学家,最终却因为受迫害妄想症而拒绝进食,因此结束了自己的生命。

 

成长的轨迹

 

库尔特 · 哥德尔(Kurt Gödel)1906 年生于奥匈帝国布鲁恩,1978 年卒于美国普林斯顿,一生辗转。可有一样东西是从未改变过的,那便是他那古怪的性格。虽然出生在一个富有的上流社会家庭,但哥德尔从小就没有权贵子弟的那种跋扈。反而相当的内向,十分依赖母亲,以至于只要母亲外出,他会立马陷入恐慌造成的寡言当中。

 

在 6 岁那年,急性风湿热侵袭了他的身体,让他痛苦不堪。虽然不久后得以痊愈,但这段经历一直在他心中留存,成为了日后影响他一生的心结。出于好奇,哥德尔在 8 岁那年翻阅医学书籍,查到了自己曾患的风湿热会对导致心脏衰弱。从此,哥德尔就一直对自己的健康问题耿耿于怀。

 

幼年哥德尔(左)

 

除此之外,哥德尔总体而言是一个非常聪颖的孩子。高中时,他的学识不仅超过了绝大多数的同学,在某些方面甚至赶超了他的老师。早在那个时候,哥德尔就已经展现出很强的强迫症,或者说是疑心病。有传言说,哥德尔在整个高中时期都没有犯下任何一个语法错误。

 

一鸣惊人

 

在维也纳大学时,哥德尔最初主修理论物理。不过后来,他迷上了一位数学教师的课堂。这位教师颈部以下全瘫,上课时必须要有助教协助才能完成板书。哥德尔很欣赏这位教师,瘫痪的身体也引起了他内心的一些共鸣。此外,哥德尔还参加了一个哲学讨论小组,研读如罗素的经典《数学原理》这样的著作。渐渐地,他喜欢上了数理与逻辑,也转到了数学系。

 

青年哥德尔

 

在获得博士学位之后,他开始关注数学界的著名问题。其中,最遭人眼的莫过于大卫 · 希尔伯特发表的《数学问题》演讲。希尔伯特总结了前人的数学研究成果,提出了23个最重要的数学问题。他认为解决了这些问题,我们的数学大厦将会趋于完美。这是希尔伯特的个人梦想,也是千百年来数学家不懈努力的共同信念。在希尔伯特提出这 23 个问题后,还在自己的退休演讲中踌躇满志地壮语:“我们必须知道,我们必将知道!”

 

大卫 · 希尔伯特(David Hilbert,1862~1943)

 

然而就在希尔伯特退休后的第二年,哥德尔横空出世,一举解决了希尔伯特排在第二关于算术公理系统的相容性问题。不过并不是以希尔伯特想象中的方法,而是将其毁灭。

 

哥德尔提出的不完备定理证明了一个可怕的事实。任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用这组公理不能判定其真假。也就是说,“相容”和“完备”是不能同时满足的。

 

第一不完备性定理

任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明为真,也不能被证明为否。

 

第二不完备性定理

如果系统 S 含有初等数论,当 S 无矛盾时,它的无矛盾性不可能在 S 内证明。

 

从古至今,所有数学家都认为所有数学问题是可以被完美证明的,只要不断地努力,总有一天数学将变得无懈可击。而哥德尔不完备定理告诉所有人,数学问题并不是都能被证明的,你们的数学不是完美的。

 

希尔伯特的宏伟大业虽然没有因此失去生命力,但哥德尔不完备定理的横空出世显然等于给它判了死刑。助手将哥德尔不完备定理转告给希尔伯特时,他怒斥其荒谬。直到他仔细读完了哥德尔的论文,才不得不承认自己的计划可能永远不能实现。此后,越来越多的数学问题被证明是不可判定的,哥德尔释放出来的恶魔正在蚕食数学家们的信念。

 

挚爱与挚友

 

而这时的哥德尔正沉迷于一位比他大6岁的已婚夜总会舞女阿黛尔。与阿黛尔认识的时候哥德尔才21岁,巧的是第二年哥德尔搬家正好住在阿黛尔的对面,两人的关系因此更近了一步。他一心想和阿黛尔喜结连理,可是阿黛尔出身不好没有文化,除了跳舞表演外没有谋生的技能。他们的这段关系遭到了家庭的反对,但两人一直坚持了下来。最终,阿黛尔结束了自己7年的婚姻,在二战爆发的前夕嫁给了哥德尔。

 

哥德尔与妻子

 

在这之后,二战的爆发改变了哥德尔的后半段人生。哥德尔身边有许多犹太朋友,导致外界误认为他也是一名犹太人,因此遭到了很多不公的待遇。加上担心自己孱弱的身体不能经受住兵役的摧残,在 1940 年,他和妻子来到了美利坚合众国,成为了普林斯顿大学的教授。也正是在普林斯顿,哥德尔遇到了他的毕生挚友——爱因斯坦。

 

此前,哥德尔曾 3 次访问普林斯顿,第一次访问时,在著名物理学家、“原子弹之父”尤利乌斯 · 罗伯特 · 奥本海默(Julius Robert Oppenheimer)的介绍下与爱因斯坦相识。两人不仅年纪相去甚远,性格也不搭,就连各种观点也很少一致。

 

哥德尔内敛克制,高高瘦瘦,头上浓密的棕发总是梳得油亮。即便是在炎热的夏天也总是穿着干净整洁的西装,博得了很多女学生的喜爱。和他研究的古老经典的数学与逻辑迥异,在审美上哥德尔不喜欢古典音乐与喜剧。而是偏偏独爱迪斯尼的动画片,看得兴起还会大笑出声。

 

而爱因斯坦外向而不羁,身材发福,稀乱的白发呈放射状分布在脑袋的后半部分。他讨厌一切形式化的着装打扮,虽然有时候也爱穿穿时尚的凉鞋,但本质上还是不屑于追随世俗。在学术之外,爱因斯坦更爱拉小提琴,也爱一个人忧郁地散步。

 

就是这样两个几乎找不到共同点的人,奇迹般地成为了挚友。用他们的同事,也是“戴森球理论”的提出者弗里曼 · 戴森(Freeman Dyson)的话说:“哥德尔是爱因斯坦的唯一良配。”有一次哥德尔打电话邀请爱因斯坦一起观看迪斯尼,原本厌恶动画的爱因斯坦竟然没有拒绝。自那以后,他俩就经常一起上班一起下班,成为了形影不离的好友。

 

哥德尔在公众面前似乎不爱谈起他与爱因斯坦的关系,但在与母亲的信中却从不掩饰。他在信中说,每天上午十点多,爱因斯坦会到家里与自己碰面。然后花上 30 分钟走到研究所,下午吃过午饭后再花 30 分钟一起散步回家。路上两人一起讨论政治、哲学、物理还有数学。爱因斯坦倒是很坦诚地表达了自己对哥德尔的喜爱,直接表示:“我自己的工作没啥意思,我来上班就是为了能同哥德尔一起散步回家。”

 

爱因斯坦与哥德尔

 

宪法的漏洞

 

1947 年,哥德尔来美已经好几个年头了,在美国的生活确实挺让他满意。因此那年他决定加入美国国籍,在身份上与爱因斯坦更进一步。当年申请入籍不但需要面试,还需要两位担保人。担保人这一点自然是不用担心,摩尔根斯坦和爱因斯坦主动揽下这个任务。但是面试的过程中面试官可能会问及一些有关美国法律的问题,需要做做功课。可是没想到哥德尔仔细研究了一遍美国宪法,发现了其中的不完备,他宣称这个漏洞可以推理出美国会成为独裁国家。最先得知这个情况的摩尔根斯坦不敢怠慢,马上通知了爱因斯坦。爱因斯坦心知不好,如果让哥德尔抓住了宪法的漏洞,必然会跟面试官发生争执。

 

面试那天,爱因斯坦提出主动送哥德尔去政府办公室。一路上为了阻止哥德尔钻美国宪法的牛角尖,不断地跟他讲冷笑话,转移他的注意力。可是很遗憾,哥德尔还是没有忘记美国宪法的问题,一直跟面试官较劲。如果不是爱因斯坦及时地站出来调解,面试官不再纠结他的问题,哥德尔恐怕拿不到美国国籍。

 

看起来哥德尔与爱因斯坦似乎只是私交甚笃,实际上两人在理论研究上也算得上是齐心协力。哥德尔在爱因斯坦转战统一场论之后,接手了广义相对论的研究,在 1951 年还被授予爱因斯坦奖。

 

1951年,哥德尔接受爱因斯坦的亲自授奖

 

巨人的陨落

 

美好的时光总是过得飞快,1955 年爱因斯坦因为腹部主动脉瘤破裂突然离世。这对哥德尔的打击之大无法用言语形容,原本就有轻微妄想症,那之后他患上了严重的精神疾病。他开始不相信除妻子外的任何人,认为从冰箱或者暖气里冒出的“坏空气”会杀死他。也从不相信别人做的饭菜,总怀疑被会下毒,只吃妻子阿黛尔做的食物。可是当他的妻子也病倒了,哥德尔就只能吃一些简单的食物,长期营养不良。

 

在爱因斯坦离世 23 年后,哥德尔终于追上了挚友的脚步。他最终死于拒绝进食导致的营养不良,临终前体重不到 30 公斤。

 

晚年瘦弱的哥德尔

 

粉碎了上千年的数学信念,达成了人类最伟大的成就,还收获了一位现代最伟大的物理学家的深厚情谊——哥德尔的经历,与他提出的“并不是所有数学公理都能被证明”的不完备定理不同——他所拥有的传奇人生,不需要任何人的证明。

 

 

散步于乡间小路上的哥德尔和爱因斯坦

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